MATEMATIKA BISNIS BARIS DAN DERET 1. BARISAN ARITMATIKA (Baris Hitung) Baris Aritmatika/baris hitung adalah suatu baris yang selisih tiap sukunya yang berurutan selalu tetap atau konstan U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un – (Un-1) Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ... , a+(n-1)b U1, U2, U3 ............., Un Rumus Suku ke-n : Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier n Contoh : Suatu barisan diketahui suku ke-2 = 9 dan suku ke-5 = 24, tentukan: 1. Suku pertama dan keduanya 2. Suku ke-n , dan 3. suku ke-25 Penyelesaian : 1. U2 = a + b = 9 U5 = a + 4b = 24 -3b = - 15 b = 5 maka : a + b = 9 à a = 4 2. Un = a + (n - 1) b = 4 + (n – 1) 5 = 4 + 5n – 5 = 5n – 1 3. Un = 5n – 1 U25 = 5 (25) -1 = 125 – 1 = 124 2. DERET ARITMATIKA (Deret Hitung) Deret Aritmatika/deret hitung merupakan jumlah dari semua barisan dalam baris hitung. a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika, atau U1 + U2 + U3 + U4 + ....Un a = suku awal b = beda n = banyak suku Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n Jumlah n suku Sn = 1/2 n(a+Un) = 1/2 n[2a+(n-1)b] = 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n) Contoh : Jumlah 5 suku pertama suatu deret aritmatika adalah -25 dan suku ketujuh adalah 5, tentukan : 1. Suku pertama dan beda 2. Jumlah 10 suku pertama Penyelesaian : 1. Un = a + (n - 1) b Pers (1) dan ke (2) di eliminasikan : U7 = a + 6b a + 6b = 5 x5 5a + 30b = 25 5 = a + 6b ...(1) 5a + 10b = -25 x1 5a + 10b = -25 - Sn = ½. n[2a+(n-1)b] 20b = 50 -25 = ½. 5[2a+4b] b = 5/2 -25 = 5a + 10b...(2) b = 5/2 di substitusikan ke (1) a + 6b = 5 a + 6. 5/2 = 5 a + 15 = 5 a = -10 2. Sn = ½. n[2a+(n-1)b] S10 = ½. 10[ 2(-10) + 9 (5/2)] = 5 (-20 + 22,5) = 5 ( 2,5) = 12,5 3. BARISAN GEOMETRI (Baris Ukur) Baris geometri / baris ukur adalah barisan dengan pembanding antara 2 suku yang berurutan selalu tetap U1, U2, U3, ......., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstant Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r) Rasio r = Un / Un-1 Suku ke-n barisan geometri Bentuk umum dari barisan geometri : a, ar, ar² , .......arn-1 U1, U2, U3,......,Un Suku ke n Un = arn-1 ® fungsi eksponen (dalam n) Contoh : Diketahui barisan geometri = 16, 8, 4, 2,... Tentukan suku pertama, rasio, rumus suku ke-n, dan suku ke-10 Penyelesaian : a = 16 à r = 8/16 = ½ Un = arn-1 Un = 16 (½)n-1 U10 = 16 (½)10-1 =16 (½)9 = 16 (0,0019) = 0,031 4. DERET GEOMETRI (Deret Ukur) Deret geometri adalah penjumlahan semua suku dari baris ukur a + ar² + ....... + arn-1 disebut deret geometri a = suku awal r = rasio n = banyak suku Jumlah n suku Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1 Sn = a(1-rn)/1-r , jika r<1 5. Penerapan dalam Ekonomi dan Bisnis Bunga dalam teori bisnis merupakan suatu balas jasa yang dibayarkan bilamana kita menggunakan uang. Kita membayar bunga kepada pihak yang meminjamkan uang. Selanjutnya, uang hasil pinjaman atau uang yang dipinjamkan disebut juga sebagai modal awal (pinjaman pokok). Secara umum, bunga jika dilihat dari satu sisi merupakan pendapatan, tetapi disisi lain bunga merupakan biaya, 5.1. Bunga Sederhana Misalkan P adalah investasi dan i adalah tingkat suku bunga, maka pendapatan interest pada akhir tahun pertama adalah Pi dan jumlah dari P adalah (P + Pi), sedangkan pada akhir tahun kedua nilai akumulasinya adalah P + P(2i) dan seterusnya sampai akhir tahun ke n, nilai akumulasinya adalah P + Pin. Selanjutnya pendapatan bunga tersebut diformulasikan sebagai berikut : I = P.i.n. Dimana I = Jumlah pendapatan bunga P = Pokok Pinjaman (Modal) i = tingkat bunga tahunan n = jumlah tahunan (waktu) Adapun jumlah akumulasi selama n tahun dengan modal awal P, dinyatakan dengan formulasi : Fn = P + P.i.n. Atau Fn = P (1 + in) Contoh : Jika besarnya pinjaman Rp. 20.000.000,- dengan bunga sebesar 11% per tahunnya, maka berapakah nilai secara keseluruhan jika harus dikembalikkan selama 12 tahun? Penyelesaian : P = 20.000.000,- i = 11% Maka bunga per tahun: I = P.i.n. = 20.000.000 (0,11) (12) = 26.400.000 Nilai yang terakumulasi selama 12 tahun : Fn = P + Pin = 20.000.000 + 26.400.000 = Rp. 46.400.000 5.2. Bunga Majemuk Maksud dan pengertian bunga majemuk adalah merupakan perhitungan modal awal yang diakumulasikan dengan nilai bunga selama kurun waktu ttt. Misalkan suatu investasi dari P rupiah pada tingkat suku bunga i per tahun, maka pendapatan bunga pada tahun pertama adalah Pi, sedangkan pendapatan bunga pada tahun kedua , modal awal P sudah ditambahkan dengan tingkat suku bunga i, sehingga nilai uang pada akhir tahun pertama (masuk ke tahun ke-2): P + Pi = P(1 + i) Sehingga modal awal pada tahun ke-n di formulasikan menjadi : Fn = P(1+i)n Fn= Modal pada awal tahun ke-n P = Investasi i = tingkat bunga tahunan n = Jumlah periode pinjaman Dari contoh diatas jika tingkat suku bunganya menggunakan model bunga majemuk, maka nilai pada akhir tahun ke-12 menjadi : Fn = 20.000.000 (1 + 0,11)12 = Rp. 69.969.012 Untuk kasus pembayaran bunga mejemuk secara kuartal, bulanan, dan/atau semesteran (yang terjadi pada bank-bank komersial), formulasinya dinyatakan dengan : Fn = P( 1 + i/m )(n)(m) Dimana : Fn = nilai uang dimasa mendatang P = modal awal I = tingkat suku bunga pertahun m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun n = periode waktu yang ditetapkan Dari contoh kasus diatas, jika pengembalian dilakukan setiap bulan, maka : P = 20.000.000 i = 11% m =12 kali n = 12 tahun Uang yang harus dikembalikan kepada yang meminjamkan : Fn = P( 1 + i/m )(n)(m) Fn = (20.000.000(1 + 0,11/12)(12)(12) Fn = 74.419.574